クラウドとは、いつでもどこでもインターネット回線を介してアクセスできる環境の事をいいます。
スマホでクラウドを利用する例ですが、音楽や写真などのデータをクラウドに保存すると、別のスマホからアクセスして同じものを共有できたり、スマホを買い替えても同じデータを利用できたりします。

また、「クラウド上に用意されたインフラ（サーバやネットワークなど）を利用するサービスや、またそれを利用する事」を「クラウドコンピューティング」といいます。
略してクラウドと呼んでいて、一般的に「クラウド」と言われたらこちらの意味になります。

クラウドコンピューティングでは、仮想化技術を用いていつでも好きなようにインフラを使って運用できる仕組みが構築されています。
基本はレンタルとなりますので、自分で物理的な設備を準備しなくてよいメリットがあります！

自社でサーバーなどのインフラを維持・管理して運用する事を、オンプレミスといいます。略してオンプレです。
サーバーやネットワーク機器、ソフトウェアを自社で保有する必要があります。

自社でインフラを自前で準備しないといけない事、維持管理の大変さから、オンプレミス→クラウドに切り替える企業も珍しくないかと思います。クラウドの手軽さはとても魅力的です。
が、クラウドサービス自体に不具合が生じると、貸与中の企業全体に影響を与えてしまうデメリットがあります。オンプレミスだと、不具合は自社のみに影響します。（自力で解決しないといけないですが）

これまでの説明を見ると、クラウドはネット上でのもの、オンプレはそれ以外（現物があるとき）と分類分けしたくなりますが、厳密には違うようです。
クラウドは「レンタルするインフラ」、オンプレミスは「自社で自前のインフラ」と覚えておくと良いかなと思います。

以下、ちょっとややこしい話ですが。
クラウドのうち、上で説明したようなAWS等からレンタルして利用するクラウドを「パブリッククラウド」といいます。
一方、自社で構築したクラウドの事を「プライベートクラウド」といいます。
プライベートクラウドのうち、利用するサーバ等に【自社の所有権がある】場合は、オンプレミスになります。
インターネットを介して自前のサーバにアクセスしている訳ですから、これはオンプレとなります。

・・・じゃああんなパターンやこんなパターンの時は？という疑問が湧きましたが、頭がこんがらがるのでこの辺でやめておきます。